Co to jest pole Sigma?

Graficzna reprezentacja pojęć stojących za algebrą sigma. C.K.Taylor

Istnieje wiele pomysłów z teorii mnogości, które opierają się na prawdopodobieństwie. Jednym z takich pomysłów jest koncepcja pola sigma. Pole sigma odnosi się do zbioru podzbiorów a przestrzeń próbki którego powinniśmy użyć, aby ustalić matematycznie formalną definicję prawdopodobieństwa. Zbiory w polu sigma stanowią zdarzenia z naszej przestrzeni próbki.

Definicja

Definicja sigma-ciała wymaga, abyśmy mieli przestrzeń próbną S wraz z kolekcją podzbiorów S . Ta kolekcja podzbiorów jest polem sigma, jeśli spełnione są następujące warunki:

• Jeśli podzbiór A jest w sigma-polu, to jest jego uzupełnieniem A ^C.
• Jeśli A_n są przeliczalnie nieskończenie wieloma podzbiorami z sigma-ciała, to zarówno przecięcie, jak i suma wszystkich tych zbiorów jest również w sigma-ciale.

Implikacje

Definicja implikuje, że dwa poszczególne zbiory są częścią każdego sigma-ciała. Od kiedy oboje A oraz A ^Csą w sigma-polu, tak samo jak przecięcie. To skrzyżowanie to pusty zestaw . Dlatego zbiór pusty jest częścią każdego pola sigma.

Przestrzeń próbki S musi być również częścią pola sigma. Powodem tego jest to, że związek A oraz A ^Cmusi znajdować się w polu sigma. Ten związek jest przestrzenią próbki S .

Rozumowanie

Jest kilka powodów, dla których ta konkretna kolekcja zestawów jest przydatna. Najpierw zastanowimy się, dlaczego zarówno zbiór, jak i jego uzupełnienie powinny być elementami sigma-algebry. Dopełnienie w teorii mnogości jest równoznaczne z negacją. Elementy w dopełnieniu A są elementy w zbiorze uniwersalnym, które nie są elementami A . W ten sposób zapewniamy, że jeśli zdarzenie jest częścią przestrzeni próbek, to zdarzenie, które nie występuje, jest również uważane za zdarzenie w przestrzeni próbek.

Chcemy również, aby suma i przecięcie zbioru zbiorów znajdowały się w sigma-algebrze, ponieważ sumy są przydatne do modelowania słowa lub. The wydarzenie że A lub B występuje jest reprezentowany przez związek A oraz B . Podobnie używamy przecięcia do reprezentowania słowa i. Wydarzenie, które A oraz B występuje jest reprezentowana przez przecięcie zbiorów A oraz B .

Niemożliwe jest fizyczne przecięcie nieskończonej liczby zbiorów. Możemy jednak myśleć o tym jako o ograniczeniu skończonych procesów. Dlatego uwzględniamy również przecięcie i sumę przeliczalnie wielu podzbiorów. Dla wielu nieskończonych przestrzeni próbek musielibyśmy utworzyć nieskończone związki i przecięcia.

Powiązane pomysły

Pojęcie związane z polem sigma nazywa się polem podzbiorów. Pole podzbiorów nie wymaga, aby jego częścią były przeliczalnie nieskończone sumy i przecięcia. Zamiast tego musimy tylko zawierać skończone sumy i przecięcia w polu podzbiorów.